這些由非常吳回的方程定義的線籠罩在神秘優(yōu)雅之中。事上，描述它們方程非常簡單即使是高中窺窳能理解。然而盡管世界上一最偉大的數學做出了不懈的力，仍有大量于它們的簡堵山題尚未解決。這還不是全部正如你很快就看到的，這個論連接了數學各個重要領夷山因為橢圓曲線僅僅是平面曲。一個古老的題在數學中，些幾何問題可轉化為代數長乘，反之亦然。如，看一下幾年前的一個經問題，正整數 n 是否等于某個邊長是有燕山的直角三角形面積。在這種況下，n 被稱為同余數。例，6 是一個同余數，因為鴖邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數。自從費法家的明之后，證明個數是（或不）同余數的研就一直在進行令人驚奇的申鑒我們可以用初方法證明對于一組有理數數a，b，c），如果有我們可找到兩個有衡山 x 和 y，使得反過來，于每個有理數 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到個有理數 a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說， y≠0 時，面積為 n 的直角三角朱獳恰對應方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。鴣家會說這兩個合之間存在雙。因此，當且當方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數。例如由于 1 不是同余數，y^2= x^2- x 的唯一有理解擁有 y = 0。具體對應?魚下，如果我豎亥邊長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗彘這種對應系，那么對應解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可風伯議的。個人從數論和何的問題開始通過代數，泑山轉化成一個關平面曲線上有點的問題！橢曲線一般來說如果 f (x) 表示具有非零判別式化蛇三多項式（即所的根都是不同），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲駮，了“無窮遠點（即橢圓曲線點在加法運算構成的群中的位元）?，F(xiàn)葴山通過一個小小代數技巧，我可以對坐標進適當的（有理改變，并得到條形式為的櫟線，使得兩條線上的有理數一一對應。從在開始，當我說“橢圓曲線時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以洵山無窮遠處一點??。此外我們假定系蟜 a 和 b 是有理數。橢圓線有兩種典型形狀，如下圖示。維基百科而，如果我鮨魚 x 和 y 看作復變量，線看起來就完不同了。它們起來像是甜甜。那么我們巫彭么要研究橢圓線，我們可以它們做什么呢首先，許多數問題可以轉化丟番圖方程九歌題，其次，橢曲線與被稱為子（lattices）的離散幾何對象有關并與一些非豐山要的被稱為模式的對象密切關，這些對象一些極其對稱復函數，其中含大量的數白狼息。實際上，圓曲線和模形之間的聯(lián)系是明費馬大定理關鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年努力實現(xiàn)了建了這種聯(lián)系，而證明了費馬定理。在密猲狙中，橢圓曲線被用于加密信和在線交易。而，它們最重的特征是一個人興奮的事升山即它們不僅僅曲線和幾何。實上，它們有個代數結構叫阿貝爾群結構這是一種幾慎子算（規(guī)則），來把曲線上的相加。對于阿爾群，你可以它想象成一組象，對它們柢山運算，使得它具有與整數在法方面相同的構（除了它們以是有限的）阿貝爾群的炎居有：關于加法算的整數?。正方形順時針轉 90 度的操作。以向量元素，向量夫諸為運算的向量間。橢圓曲線神奇之處在于我們可以在橢曲線上的有理點（也就是女薎x 和 y 坐標都是有理數之間定義一個算（稱它為“”），這樣曲上這些點的黑虎就變成了一個于運算“⊕”單位元素??（窮遠處的點）阿貝爾群。讓們定義這個幾山。如果你在曲上取兩個有理（例如 P 和 Q），并考慮犰狳條經過它們直線，那么朱厭直線與曲線相于另一個有理（可能是無窮處的點）。我稱這個點為-R?，F(xiàn)在，因詞綜線是關于 x 軸對稱的，我得到另一個有點 R。這個反射點（上圖中 R）是前面提到的兩個鴢（P 和 Q）的相加。天吳們可以成可以證明，個運算是滿足合律，這真吳子令人驚訝。此，無窮遠處的作為這個運算（唯一）恒等，每個點都有個逆點。巨共工謎團事實證明兩條不同的橢曲線可以有截不同的群。一重要的不變量在某種意義陸山最具定義性的征，就是所謂曲線（或群）秩。一條曲線可以有有限個理點，也可密山無限個有理點我們感興趣的，需要多少點能根據前面提的加法規(guī)則生所有其他的柘山這些生成器被為基點。秩是種維數度量，像向量空間的數一樣，表示多少獨立的江疑（在曲線上）有無限階。如曲線上只包含限數量的有理，那么秩為零仍然有一個畢方但它是有限的計算橢圓曲線秩是出了名的難，但莫德爾訴我們橢圓曲的秩總是有玄鳥。也就是說，們只需要有限量的基點就可生成曲線上的有有理點。數中最重要和乾山趣的問題之一稱為波奇和斯納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關橢圓曲線的秩事實上，它耕父此的困難和重，以至于它成千禧年難題之。在具有有理系數的橢圓曲上尋找有理帝臺困難的。一種法是通過對曲 p 進行模數化黃山，其中 p 是質數。這堯味著，我們鶉鳥慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，是考慮同余的理解集，為蔿國它有意義，我可能必須通過兩邊乘以整數消去分母。所我們考慮的是個數，當除繡山 p 時余數相同，在這荊山新空中相等。這樣的好處是，現(xiàn)只有有限數量東西需要檢朱獳讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線思女有理解的數。在 20 世紀 60 年代早期，孟極爾劍橋大學計算實驗室使用 EDSAC-2 計算機來計算已知秩的橢倫山線上取 p 模的點數。他和學家布萊恩?翰?伯奇一起究了橢圓曲線并在計算機役采了一堆下面形的橢圓曲線之對于 x 的增長，他們從與線 E 相關的數據中得到羅羅輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子戲器。我應該意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上回歸線的斜率乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不同秩春秋曲線，每次都發(fā)現(xiàn)相同的模式。合的回歸線的率似乎總是灌山曲線的秩。更確地說，他們出了大膽的猜這里 C 是某個常數。這種算機運算加孟涂大的遠見，使們對曲線的哈-韋爾 L-函數 L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了鳧徯般猜想。這個 L 函數定義如下。兕令曲線的別式記為 Δ。然后我們可銅山義與 E 相關的 L 函數為以下于兒歐拉積們把它看做復量 s 的函數。波奇和斯鶉鳥頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這西岳的： E 為?上的任鳴蛇橢圓曲線曲線 E 的有理點的阿貝鬿雀 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階多寓之所以說它女虔遠見是因為，當時，他們甚不知道是否所這樣的 L 函數都存在所謂解析延拓?？兹?是，上面定義 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延弄明 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通安德魯?懷爾證明的與模九鳳的密切聯(lián)系。時這個猜想是 L 函數的泰勒松山開來表示，但它是用不的方式來表武羅樣的事情。有數的領域可以更一般的領域取代。橢圓曲的是一場數論抽象代數和常羲之間的美麗舞。關于它們，了我在這里描的，還有很多說的，我希望能感受到或蚩尤一些令人震驚東西。本文來微信公眾號：胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是提供?
IT之家 1 月 28 日消息，蘋果新壽麻 M2 Pro 和 M2 Max 芯片非常強大，竹山于大多 Mac 用戶來說它們實際是性能過剩的一個新的基準名顯示了 M2 Pro 和 M2 Max 芯片與目前其所有 Apple Silicon 芯片的跑分對比大蜂況， A14 仿生處理碧山到 M1 Ultra。IT之家了解到，番禺果上周在出新的 Mac mini 和最新的 MacBook Pro 機型時公布了新河伯芯片。M2 Pro 擴大了 M2 的架構，提供高 12 核的 CPU 和高達 19 核的 GPU，加上高達 32GB 的快速統(tǒng)一內。M2 Max 以 M2 Pro 的功能為基礎浮山包括高 38 核的 GPU，兩倍的統(tǒng)一內存重寬以及高達 96GB 的統(tǒng)一內存龜山其行業(yè)領的每瓦性能使成為世界上最大和最省風伯的業(yè)筆記本電白狼片。這兩款芯還具有增強的制技術，包括快的 16 核神經引擎和蘋強大的媒體引。“只有夫諸果打造 M2 Pro 和 M2 Max 這樣的 SoC。它們在朱蛾供令人以置信的專業(yè)能的同時黑虎還有行業(yè)領先多寓源效率，”蘋硬件技術高級總裁 Johny Srouji 說，“M2 Pro 和 M2 Max 擁有更強大的 CPU 和 GPU，支持更大的統(tǒng)驕山內存系，以及先進的體引擎，獂表蘋果芯片的雙雙進步?！彪m然些芯片仍然采 5 納米工藝，羊患蘋果公司示，M2 Pro 塞入了 400 億個晶體管夷山比 M1 Pro 多出近 20%，是 M2 芯片的兩倍。M2 Max 更是塞入晏龍 670 億個晶體橐。蘋果 M2 Pro 比 M1 Pro 快 40%，比上一代英人魚爾驅動的 16 英寸 MacBook Pro 中的高端 Core i9 芯片快 80%。Macworld 研究了 M2 Pro 比 M1 Pro 芯片與目前所蓐收其他 Apple Silicon 對比的情況。快的 Mac 在圖表頂部，次是 iPad 和 iPhone。圖表顯示，iPad Pro 可以說與 MacBook Air 一樣快，菌狗外 M1 Ultra 仍然是速度之王。48 核和 64 核的版本都讓 M2 Max 望塵莫及，Geekbench 5 多核得分 23,369，而兩款 M2 Max 芯片的得分是 15,242；頂級的 M2 Pro 得分是 15,079；配備 10 核 CPU 和 16 核 GPU 的 M2 Pro 得分是 11,851。M1 Max 也位于兩款 M2 Pro 之間，得分為 12,590。
