對(duì)于“算法”一給以精確的定義是一件容易事，一些意義相近的義語，就是一些他的名詞，它們有時(shí)）會(huì)給出差多同樣的東西，如 "法則"" 技巧”“程序”有“方法”等等是這種同義語。可以給出一些例，如長乘法，就小學(xué)生學(xué)的把兩正整數(shù)相乘的豎乘法。然而，雖非形式的解釋和當(dāng)?shù)睦訉?duì)于什是算法給出了很的感覺，但算法詞中所深藏的思卻經(jīng)歷了一個(gè)很的演化歷程，直到 20 世紀(jì)才得到了令人滿意形式定義，而關(guān)算法的觀念，直如今還在演進(jìn)。盤家和算法家回關(guān)于乘法的例子有一點(diǎn)是顯然的怎樣把兩個(gè)數(shù)相？表示這些數(shù)的法極大地影響了法的具體作法。了弄明白這點(diǎn)，著把兩個(gè)羅馬數(shù) CXLVII 和 XXIX 相乘，但不要先把們譯成等價(jià)的十數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄明白，明白以后進(jìn)行計(jì)算也其花時(shí)間，而這可以解釋何以留至今的羅馬帝國于乘法的材料極零散。記數(shù)制可是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法：C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個(gè) I 放在 V 的右方，表示要把它們加到 V 上，所以是 7。把所有以上的解釋“累加”起，就是羅馬數(shù)學(xué) 147。記數(shù)制度也可以是進(jìn)位，如我們今天所的那樣。如果是位的，可以使用個(gè)或多個(gè)基底。很長的時(shí)期中，行計(jì)算可以使用種計(jì)算工具 "算盤（abacus）"。這些計(jì)算工具可以表示一定底下的進(jìn)位制的。例如，如果以 10 為基底、則一個(gè)標(biāo)記物可以表 1 個(gè)單位、或者 10。或者 100 等等，視它是放在哪一行或豎列而定。照精確的規(guī)則移這些標(biāo)記物，就以進(jìn)行算術(shù)四則算。中國的算盤是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作被翻譯拉丁文以后，十制就在歐洲流行來了。這種進(jìn)位特別適合于算術(shù)算，并且引導(dǎo)到多新的計(jì)算方法這些方法就通稱算法（algoritmus），而與在算盤上用標(biāo)物進(jìn)行計(jì)算相區(qū)。雖然數(shù)字符號(hào)就是數(shù)碼，來自度人的實(shí)踐，而來才為阿拉伯人知，現(xiàn)在這些數(shù)卻叫做阿拉伯?dāng)?shù)．算法（algorithm）的字源卻是阿拉伯文它是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾?花拉子米名字的變體?；?子米是現(xiàn)在已知最古老的數(shù)學(xué)書作者，這一著作為 《通過補(bǔ)全和還原做計(jì)算的綱》（al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來就變成了“代數(shù)（algebra）一詞。有限性們已經(jīng)看到“算”一詞在中世紀(jì)指以整數(shù)的十進(jìn)表示為基礎(chǔ)的計(jì)程序。但是到了 17 世紀(jì)，在達(dá)朗貝爾主編的《科全書》中，算一詞被賦予了更泛的意義，不只于算術(shù)，還用于于代數(shù)方法以及他的計(jì)算程序，如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個(gè)詞又逐漸被用來表示任意具有精確規(guī)則的統(tǒng)的計(jì)算程序。后，隨著計(jì)算機(jī)作用越來越大，限性的重要性被分認(rèn)識(shí)到了，很質(zhì)的要求是，這過程在有限時(shí)間后就會(huì)停止，而出結(jié)果。所以就到了下面的樸素定義：一個(gè)算法是有限多個(gè)規(guī)則集合，用以對(duì)數(shù)有限的數(shù)據(jù)進(jìn)行作，而在有限多以后產(chǎn)生結(jié)果。意，在這里一直調(diào)有限性，在寫算法時(shí)的有限性以及在執(zhí)行算法的有限性。上面陳述算不上是在典意義下的數(shù)學(xué)義。我們將會(huì)看，把它進(jìn)一步形化是重要的。但我們現(xiàn)在暫時(shí)也滿足于這個(gè) "定義" 了，而且來看一下數(shù)學(xué)中的法的一些經(jīng)典例。三個(gè)歷史上的子算法具有一種們尚未提到的特：迭代，也就是單程序的反復(fù)執(zhí)。為了看清迭代重要性，我們再次來看一下長乘這個(gè)例子，這是個(gè)對(duì)任意大小的整數(shù)都適用的方。數(shù)字變得越大程序也就越長。是最關(guān)緊要的是方法是“同樣的，如果會(huì)把兩個(gè)位數(shù)相乘，也就把兩個(gè) 137 位的數(shù)字相乘，不必再去學(xué)什么的原理，理由在長乘法的方法里包含了大量的仔構(gòu)造好的小得多任務(wù)的重復(fù)執(zhí)行例如把兩個(gè)一位相乘的九九表。們將會(huì)看到，迭在我們所要討論算法中起了重要用。歐幾里得算：迭代歐幾里得法是說明算法本的最好也是最常的例子。這個(gè)算可以追溯到公元 3 世紀(jì)。歐幾里得用它來計(jì)算個(gè)正整數(shù)的最大約數(shù)（gcd）。當(dāng)我們最開始遇兩個(gè)正整數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時(shí)，它是定為一個(gè)正整數(shù)，且同為 a 和 b 的因數(shù)。然而，為了很多目的定義它為具有以兩個(gè)性質(zhì)的唯一整數(shù) d 更好。這兩個(gè)性質(zhì)就是首先，d 是 a 和 b 的一個(gè)因數(shù)；其次，如 c 是 a 和 b 的另一個(gè)因數(shù)，則 d 可以被 c 所整除。歐幾里得的《幾原本》卷 VII 的前兩個(gè)命題給出了求 d 的方法，其中第一個(gè)題如下："給定了兩個(gè)不相等的數(shù)從較大的一數(shù)不地減去較小的一，如果余下的數(shù)，都不能量度前，直到余下的數(shù)一單位為止，這，原來的數(shù)為互。" 換句話說，如果輾轉(zhuǎn)相減得了數(shù) 1，則 gcd 為 1。這時(shí)，就說原來的個(gè)數(shù)互質(zhì)（或互素?cái)?shù)）。輾轉(zhuǎn)相法現(xiàn)在我們來一地描述歐幾里得法，它是基于以兩點(diǎn)觀察的：（1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它是 a-b 和 b 的公約數(shù)?，F(xiàn)在設(shè)要求 a 和 b 的 gcd，而且設(shè) a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我們，gcd 就是 b。若不然，觀察（2）告訴我們，如果求 a-b 和 b 的 gcd 也會(huì)得到同樣的答案。現(xiàn)令 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個(gè)， b_1 則為其中較小的一個(gè)，后再求兩數(shù)的 gcd。不過，現(xiàn)在兩數(shù)中較大的一，即 a_1，小于原來兩數(shù)中較的一個(gè)，即 a。這樣我們就可以上面的程序再重一遍：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，就把 a_1 換成 a_1-b_1，再來組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，較大的一個(gè)要放前面，然后再繼下去，這就叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個(gè)程能夠進(jìn)行下去，有一個(gè)觀察是需的，這就是下面關(guān)于正整數(shù)的一基本事實(shí)，有時(shí)為良序原理：嚴(yán)下降的正整數(shù)序 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列。因?yàn)樯厦娴牡?程序恰好產(chǎn)生了個(gè)嚴(yán)格下降序列這個(gè)迭代最終一會(huì)停止，這就意著在某一點(diǎn)上必 a_k=b_k，而這個(gè)公共值是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的流程歐幾里得除法通對(duì)于歐幾里得算的陳述與此稍有同?？梢詰?yīng)用一較復(fù)雜的程序，為歐幾里得除法也就是帶余除法，它可以大大減算法的步數(shù)，這算法也稱為輾轉(zhuǎn)除法。這個(gè)程序基本事實(shí)是：若 a 和 b 是兩個(gè)正整數(shù)，則必在唯一的整數(shù) q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上面的兩點(diǎn)說明1）和（2）現(xiàn)在要代以若 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次，第一步要用（b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要做第二，并用（r，r_1）來代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù)，所 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良序原理，知這個(gè)程序經(jīng)過限步后一定停止而最后一個(gè)非零余數(shù)就是 a 和 b 的 gcd。不難看到，這種方法，就求 gcd 而言是等價(jià)的，但就算法而則有很大區(qū)別。如，設(shè) a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相減法，就要從 103 438 中累次減去 37，一直到余下的數(shù)小于 37 為止。這個(gè)差數(shù)與 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣的，而如用第二種方法，次就可以得到它這樣，使用第二方法的理由就在用累次減法來求法的余數(shù)是非常效率的。效率上收益在實(shí)踐上是重要的，第二種法給出的是多項(xiàng)時(shí)間算法，而第種方法所需的則指數(shù)長的時(shí)間。廣歐幾里得算法以推廣到許多其背景下，只要有法、減法和乘法概念就行。例如有一個(gè)變體，可用于高斯整數(shù)環(huán)就是形如 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復(fù)數(shù)所成的環(huán)，它可以用于系數(shù)為數(shù)的多項(xiàng)式環(huán)中就此而論，系數(shù)任意域中也行）但有一個(gè)要求，是要能夠定義帶除法的類比物，了這一點(diǎn)以后、法就與正整數(shù)情的算法基本上相了。例如下面的題：設(shè) A 和 B 是兩個(gè)任意多項(xiàng)式，而且 B 不是零多項(xiàng)式、必存在兩個(gè)多項(xiàng) Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如歐幾里得《幾何原本》中到的那樣，也可對(duì)于一對(duì)數(shù)（a，b）當(dāng) a 和 b 不一定是整數(shù)時(shí)實(shí)行這個(gè)程序容易驗(yàn)證，當(dāng)且當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)時(shí)，這個(gè)程序會(huì)停下來這個(gè)觀點(diǎn)引導(dǎo)到分?jǐn)?shù)的概念。在 17 世紀(jì)以前，沒有特別地研究它，但是其中的想根源可以追溯阿基米德。阿基德計(jì)算 π 的方法：逼近和有限圓周長和圓的直的比值是一個(gè)常，而自從 18 世紀(jì)以來就記作 π?，F(xiàn)在我們來一看阿基米德怎在公元前 3 世紀(jì)就得到了這個(gè)值的經(jīng)典的近似 22/7。若在圓內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正多邊形（其頂都在圓周上），作其外切的正多形（其邊都是圓的切線），再計(jì)這些多邊形的周，就會(huì)得到 x 的下界與上界，為圓的周長必定于任意內(nèi)接多邊的周長，而小于意外切多邊形的長。阿基米德從六邊形開始，然，每次把多邊形邊數(shù)加倍，得到越來越精確的上界。他做到九十邊形為止，得到π 的逼近這個(gè)過程中顯然涉及迭。但是稱它為一算法對(duì)不對(duì)？嚴(yán)地說，它不是一算法，不論取多邊的多邊形，所到的僅是 π 的近似值，所以這過程不是有限的然而我們確實(shí)得了一個(gè)可以近似算 π 到任意精確度的算法。例。如果想得到 π 的一個(gè)準(zhǔn)確到小數(shù)十位的近似值經(jīng)過有限多步以，這個(gè)算法會(huì)給一個(gè)我們想要的似值。重要的是這個(gè)過程是收斂。就是說，重要在于由迭代得出值可以任意地接于 π。這個(gè)方法的幾何來源可以來證明這個(gè)收斂，而 1609 年德國人作到了 202 邊形（基本上用阿基米德方法），得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然而，逼近 π 的算法與阿基米德計(jì)算兩個(gè)正整的 gcd 的算法有一個(gè)明顯的別。如歐幾里得樣的算法時(shí)常稱離散算法，而與來計(jì)算非整數(shù)值數(shù)值算法相對(duì)立牛頓-拉夫森方法：遞推公式1670 年前后、牛頓提出了一個(gè)求方之根的方法，而就方程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。的解釋從下面的個(gè)觀察開始：根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了一個(gè)關(guān)于 p 的方程。這個(gè)新方程算出來是因 x 接近于 2，所以 p 很小，而他就略去了 p^3 和 6p^2 來估計(jì) p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當(dāng)然不是一個(gè)準(zhǔn)確，但是，給了牛關(guān)于根的新的更的近似值：x=2.1。然后牛頓就重復(fù)這個(gè)過程， x=2.1＋q，代入原方程以又給出了一個(gè)關(guān) q 的方程，近似地解這個(gè)方程又把他的近似解確化了，于是得 q 的估計(jì)為-0.0054，所以 x 的下一個(gè)近似值是 2.0946。盡管如此，我們怎么能確這個(gè)過程會(huì)收斂 x 呢？讓我們更仔細(xì)地考察這方法。切線和收性牛頓的方法可從幾何上用函數(shù) f 的圖像來解釋，雖然牛頓本人沒有這樣做。f（x）=0 的每一個(gè)根 x 都對(duì)應(yīng)于函數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)。如果從根 x 的一個(gè)近似值 a 開始，而且和上做的一樣，設(shè) p=x- a，于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個(gè)新的函數(shù) g（p），也就是說把原點(diǎn)（0，0）有效地移到了（a，0）處。然后把 p 的所有高次冪都略去，只留常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)這樣就得到了函 g 的最佳的線性逼近 —— 從幾何上說，這就 g 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線。這樣，對(duì)于 p 所得到的近似值就是函數(shù) y 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)。再在橫坐標(biāo)上加一 a，也就是讓原點(diǎn)回到原來的（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似值。這就是牛的方法稱為切線的原因。牛頓方從上圖可以看到再作一次切線的近，如果曲線 y=f（x）與 x 軸的交點(diǎn)在 a 點(diǎn)以及 f 在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)（即上圖中的橫坐標(biāo)為 a+p 的點(diǎn)，即根的近似值）之，則第二次的近值（即 a＋p＋q）肯定比第一次的近似值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近似）?；氐脚ｎD的子，可以看到牛選取 a=2 并不是上面所說的況。但是從下一近似值 2.1 開始，以下所有近似值就都是這情況了。從幾何看，如果點(diǎn)（a，f（a））位于 x 軸的上方，而且 y=f（x）的曲線在凸部與 x 軸相交，或者點(diǎn)（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在凹部與 x 軸相交，就會(huì)出現(xiàn)這種有的情況。初始的近（即零次近似的選擇顯然是很要的，而且提出微妙的未曾想到問題。如果我們慮復(fù)多項(xiàng)式的復(fù)，這就更加清楚。牛頓的方法很易適應(yīng)這個(gè)更廣的背景。設(shè) z 是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式復(fù)根，而 z_0 是初始的逼近，于是牛頓方法將出一個(gè)序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能不收斂。我們定根 z 的吸引區(qū)域?yàn)檫@樣的初始近 z_0 的集合，使得所得到序列確實(shí)收斂于 z，并且記這個(gè)區(qū)域?yàn)?A（z）。怎樣來決定 A（z）呢？第一個(gè)問這個(gè)問題的人是萊，時(shí)間是 1879 年。他注意到，對(duì)于二次多式，這個(gè)問題是容易的，但當(dāng)次為 3 或者更大時(shí)，問題就很困了。例如多項(xiàng)式 z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別是復(fù)平面以鉛直軸為界的個(gè)半平面，但是 z^3-1 的三個(gè)根 1，w，w^2 的相應(yīng)的吸引區(qū)域就是極復(fù)的集合。這些集是由儒利亞在 1918 年描述的，而現(xiàn)在稱為分集合。遞推公式頓方法的每一階都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新程。但是拉夫森出實(shí)際上并無必。他就特殊的例給出在每一步都以使用的單一一公式。但是他的本的觀察可以一地適用，導(dǎo)出可用于每一個(gè)情況一般公式，而這公式用切線的解就可以容易得出事實(shí)上，曲線 y=f（x）在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程是它 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所的牛頓-拉夫森方法就是指的這個(gè)式。我們從一個(gè)始逼近 a_0=a 開始再用這個(gè)遞推公式得出這就得到一個(gè)逼近序列，在復(fù)情況，也就是前面說 z_0，z_1，z_2，…。作為一個(gè)例子，考函數(shù) f（x）=x^2-c。這時(shí)，牛頓方法就給 c 的平方根根號(hào) c 的一串近似值，遞推公式在成了在上面的般公式中把 f 換成 x^2-c 即得。這個(gè)近似平方根的求法，元 1 世紀(jì)的亞歷山大里亞的海就已經(jīng)知道。本來自微信公眾號(hào)老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
