劇情簡(jiǎn)介
對(duì)于“算法一詞給以精的定義不是件容易事，一些意義相的同義語，是一些其他名詞，它們有時(shí)）會(huì)給差不多同樣東西，例如 "法則"" 技巧”“程”還有“方”等等都是種同義語。可以給出一例子，如長(zhǎng)法，就是小生學(xué)的把兩正整數(shù)相乘豎式乘法。而，雖然非式的解釋和當(dāng)?shù)睦訉?duì)什么是算法出了很好的覺，但算法詞中所深藏思想?yún)s經(jīng)歷一個(gè)很長(zhǎng)的化歷程，直到 20 世紀(jì)才得到了人滿意的形定義，而關(guān)算法的觀念直到如今還演進(jìn)。算盤和算法家回關(guān)于乘法的子，有一點(diǎn)顯然的：怎把兩個(gè)數(shù)相？表示這些的方法極大影響了乘法具體作法。了弄明白這，試著把兩羅馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不要先把它們成等價(jià)的十數(shù)字 147 和 29。這件事既難明白，明白以后進(jìn)行計(jì)也極其花時(shí)，而這就可解釋何以留至今的羅馬國(guó)關(guān)于乘法材料極為零。記數(shù)制可是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法：C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個(gè) I 放在 V 的右方，表示要把們加到 V 上，所以是 7。把所有以上的解釋“加”起來，是羅馬數(shù)學(xué) 147。記數(shù)制度也可是進(jìn)位的，我們今天所的那樣。如是進(jìn)位的，以使用一個(gè)多個(gè)基底。很長(zhǎng)的時(shí)期，進(jìn)行計(jì)算以使用一種算工具 "算盤（abacus）"。這些計(jì)算工具以表示一定底下的進(jìn)位的數(shù)。例如如果以 10 為基底、則一個(gè)標(biāo)記物以代表 1 個(gè)單位、或 10。或者 100 等等，視它是在哪一橫行豎列而定。照精確的規(guī)移動(dòng)這些標(biāo)物，就可以行算術(shù)四則算。中國(guó)的盤就是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著被翻譯為拉文以后，十制就在歐洲行開來了。種進(jìn)位制特適合于算術(shù)算，并且引到許多新的算方法。這方法就通稱算法（algoritmus），而與在算盤上用標(biāo)物進(jìn)行計(jì)算區(qū)別。雖然字符號(hào)，就數(shù)碼，來自度人的實(shí)踐而后來才為拉伯人所知現(xiàn)在這些數(shù)卻叫做阿拉數(shù)碼．算法algorithm）的字源卻是阿拉文，它是阿伯?dāng)?shù)學(xué)家阿?花拉子米名字的變體花拉子米是在已知的最老的數(shù)學(xué)書作者，這一作名為 《通過補(bǔ)全和還做計(jì)算的綱》（al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來就變成了“數(shù)”（algebra）一詞。有限性們已經(jīng)看到算法”一詞中世紀(jì)是指整數(shù)的十進(jìn)表示為基礎(chǔ)計(jì)算程序。是到了 17 世紀(jì)，在達(dá)朗貝爾主編《百科全書中，算法一被賦予了更泛的意義，只用于算術(shù)還用于關(guān)于數(shù)方法以及他的計(jì)算程，諸如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個(gè)又逐漸地被來表示任意具有精確規(guī)的系統(tǒng)的計(jì)程序。最后隨著計(jì)算機(jī)作用越來越，有限性的要性被充分識(shí)到了，很質(zhì)的要求是這個(gè)過程在限時(shí)間以后會(huì)停止，而出結(jié)果。所就得到了下的樸素的定：一個(gè)算法是有限多個(gè)則的集合，以對(duì)數(shù)量有的數(shù)據(jù)進(jìn)行作，而在有多步以后產(chǎn)結(jié)果。注意在這里一直調(diào)有限性，寫出算法時(shí)有限性，以在執(zhí)行算法的有限性。面的陳述算上是在經(jīng)典義下的數(shù)學(xué)義。我們將看到，把它一步形式化重要的。但我們現(xiàn)在暫也就滿足于個(gè) "定義" 了，而且來看一下數(shù)學(xué)的算法的一經(jīng)典例子。個(gè)歷史上的子算法具有種我們尚未到的特性：代，也就是單程序的反執(zhí)行。為了清迭代的重性，我們?cè)?次來看一下乘法這個(gè)例，這是一個(gè)任意大小的整數(shù)都適用方法。數(shù)字得越大、程也就越長(zhǎng)。是最關(guān)緊要是，方法是同樣的”，果會(huì)把兩個(gè)位數(shù)相乘，就會(huì)把兩個(gè) 137 位的數(shù)字相乘，不必再去學(xué)么新的原理理由在于長(zhǎng)法的方法里包含了大量仔細(xì)構(gòu)造好小得多的任的重復(fù)執(zhí)行例如把兩個(gè)位數(shù)相乘的九表。我們會(huì)看到，迭在我們所要論的算法中了重要作用歐幾里得算：迭代歐幾得算法是說算法本質(zhì)的好也是最常的例子。這算法可以追到公元前 3 世紀(jì)。歐幾里得用它來算兩個(gè)正整的最大公約（gcd）。當(dāng)我們最開遇到兩個(gè)正數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時(shí)，它定義為一個(gè)整數(shù)，而且為 a 和 b 的因數(shù)。然而，為了多目的，定它為具有以兩個(gè)性質(zhì)的一的整數(shù) d 更好。這兩個(gè)性質(zhì)就是首先，d 是 a 和 b 的一個(gè)因數(shù)；其次，如 c 是 a 和 b 的另一個(gè)因數(shù)則 d 可以被 c 所整除。歐幾里的《幾何原》卷 VII 的前兩個(gè)命題給出了求 d 的方法，其中第一個(gè)題如下："給定了兩個(gè)不等的數(shù)、從大的一數(shù)不地減去較小一數(shù)，如果下的數(shù)位，不能量度前，直到余下數(shù)為一單位止，這時(shí)，來的數(shù)為互。" 換句話說，如果輾相減得到了 1，則 gcd 為 1。這時(shí)，就原來的兩個(gè)互質(zhì)（或互素?cái)?shù)）。輾相減法現(xiàn)在們來一般地述歐幾里得法，它是基以下兩點(diǎn)觀的：（1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它是 a-b 和 b 的公約數(shù)。現(xiàn)在要求 a 和 b 的 gcd，而且設(shè) a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我們，gcd 就是 b。若不然，觀察（2）告訴我們，如求 a-b 和 b 的 gcd 也會(huì)得到同樣的案。現(xiàn)在令 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個(gè)，而 b_1 則為其中較小的一，然后再求數(shù)的 gcd。不過，現(xiàn)兩數(shù)中較大一個(gè)，即 a_1，小于原來兩數(shù)中較的一個(gè)，即 a。這樣我們就可以把上的程序再重一遍：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，就把 a_1 換成 a_1-b_1，再來組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，較大的一個(gè)放在前面，后再繼續(xù)下，這就叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個(gè)程序能進(jìn)行下去，有一個(gè)觀察需要的，這是下面的關(guān)正整數(shù)的一基本事實(shí)，時(shí)稱為良序理：嚴(yán)格下的正整數(shù)序 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序。因?yàn)樯厦?迭代程序恰產(chǎn)生了一個(gè)格下降序列這個(gè)迭代最一定會(huì)停止這就意味著某一點(diǎn)上必 a_k=b_k，而這個(gè)公共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算的流程圖歐里得除法通對(duì)于歐幾里算法的陳述此稍有不同可以應(yīng)用一較復(fù)雜的程，稱為歐幾得除法（也是帶余除法，它可以大減少算法的數(shù)，這種算也稱為輾轉(zhuǎn)除法。這個(gè)序的基本事是：若 a 和 b 是兩個(gè)正整數(shù)，必存在唯一整數(shù) q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上的兩點(diǎn)說明1）和（2）現(xiàn)在要代以 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次，第一步要用b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要做二步，并用r，r_1）來代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù)，所 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良序原，即知這個(gè)序經(jīng)過有限后一定停止而最后一個(gè)零的余數(shù)就 a 和 b 的 gcd。不難看到這兩種方法就求 gcd 而言是等價(jià)的，但就算而言則有很區(qū)別。例如設(shè) a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相法，就要從 103 438 中累次減去 37，一直到余下的數(shù)小于 37 為止。這個(gè)差數(shù)與 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣，而如果用二種方法，次就可以得它。這樣，用第二種方的理由就在用累次減法求除法的余是非常低效的。效率上收益在實(shí)踐是很重要的第二種方法出的是多項(xiàng)時(shí)間算法，第一種方法需的則是指長(zhǎng)的時(shí)間。廣歐幾里得法可以推廣許多其他背下，只要有法、減法和法的概念就。例如它有個(gè)變體，可用于高斯整環(huán)。就是形 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復(fù)數(shù)所成環(huán)，它也可用于系數(shù)為數(shù)的多項(xiàng)式中（就此而，系數(shù)在任域中也行）但有一個(gè)要，就是要能定義帶余除的類比物，了這一點(diǎn)以、算法就與整數(shù)情況的法基本上相了。例如下的命題：設(shè) A 和 B 是兩個(gè)任意項(xiàng)式，而且 B 不是零多項(xiàng)式、則必在兩個(gè)多項(xiàng) Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如幾里得在《何原本》中到的那樣，可以對(duì)于一數(shù)（a，b）當(dāng) a 和 b 不一定是整數(shù)時(shí)實(shí)行個(gè)程序。容驗(yàn)證，當(dāng)且當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)時(shí)，這個(gè)序會(huì)停下來這個(gè)觀點(diǎn)引到連分?jǐn)?shù)的念。在 17 世紀(jì)以前，沒有特別地究過它，但其中的思想源可以追溯阿基米德。基米德計(jì)算 π 的方法：逼近和有限圓周長(zhǎng)和圓直徑的比值一個(gè)常數(shù)，自從 18 世紀(jì)以來就作 π。現(xiàn)在我們來看一阿基米德怎在公元前 3 世紀(jì)就得到了這個(gè)比值經(jīng)典的近似 22/7。若在圓內(nèi)作個(gè)內(nèi)接的正邊形（其頂都在圓周上，又作其外的正多邊形其邊都是圓的切線），計(jì)算這些多形的周長(zhǎng)，會(huì)得到 x 的下界與上，因?yàn)閳A的長(zhǎng)必定大于意內(nèi)接多邊的周長(zhǎng)，而于任意外切邊形的周長(zhǎng)阿基米德從六邊形開始然后，每次多邊形的邊加倍，得到越來越精確上下界。他到九十六邊為止，得到π 的逼近這個(gè)過程中顯涉及迭代。是稱它為一算法對(duì)不對(duì)嚴(yán)格地說，不是一個(gè)算，不論取多邊的多邊形所得到的僅 π 的近似值，所以這過程不是有的。然而我確實(shí)得到了個(gè)可以近似算 π 到任意精確度的法。例如。果想得到 π 的一個(gè)準(zhǔn)確到小數(shù)十位近似值，經(jīng)有限多步以，這個(gè)算法給出一個(gè)我想要的近似。重要的是這個(gè)過程是斂的。就是，重要的在由迭代得出值可以任意接近于 π。這個(gè)方法的何來源可以來證明這個(gè)斂性，而 1609 年德國(guó)人作到了 202 邊形（基本上用基米德的方），得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。而，逼近 π 的算法與阿基米德計(jì)算個(gè)正整數(shù)的 gcd 的算法有一個(gè)明的區(qū)別。如幾里得那樣算法時(shí)常稱離散算法，與用來計(jì)算整數(shù)值的數(shù)算法相對(duì)立牛頓-拉夫森方法：遞推式1670 年前后、牛提出了一個(gè)方程之根的法，而且就程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。他的釋從下面的個(gè)觀察開始根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了一個(gè)關(guān) p 的方程。這個(gè)新方算出來是因 x 接近于 2，所以 p 很小，而他就略去了 p^3 和 6p^2 來估計(jì) p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當(dāng)然不是一個(gè)確解，但是給了牛頓關(guān)根的新的更的近似值：x=2.1。然后牛頓就重這個(gè)過程， x=2.1＋q，代入原方程以后又出了一個(gè)關(guān) q 的方程，近似地解個(gè)方程，又他的近似解確化了，于得到 q 的估計(jì)為-0.0054，所以 x 的下一個(gè)近似值 2.0946。盡管如此，我們?cè)趺?確定這個(gè)過會(huì)收斂于 x 呢？讓我們更仔細(xì)地考這個(gè)方法。線和收斂性頓的方法可從幾何上用數(shù) f 的圖像來解釋，然牛頓本人沒有這樣做f（x）=0 的每一個(gè)根 x 都對(duì)應(yīng)于函數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)如果從根 x 的一個(gè)近似值 a 開始，而且和上做的一樣， p=x- a，于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個(gè)新函數(shù) g（p），也就是把原點(diǎn)（0，0）有效地移到了（a，0）處。然后 p 的所有高次冪都略，只留下常項(xiàng)和線性項(xiàng)這樣就得到函數(shù) g 的最佳的線性近 —— 從幾何上說，就是 g 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線。這樣，于 p 所得到的近似值是函數(shù) y 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)。在橫坐標(biāo)上一個(gè) a，也就是讓原點(diǎn)到原來的（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似值。這就牛頓的方法為切線法的因。牛頓方從上圖可以到，再作一切線的逼近如果曲線 y=f（x）與 x 軸的交點(diǎn)在 a 點(diǎn)以及 f 在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)（即圖中的橫坐為 a+p 的點(diǎn)，即根近似值）之，則第二次近似值（即 a＋p＋q）肯定比第一的近似值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近）。回到牛的例子，可看到牛頓選 a=2 并不是上面所的情況。但從下一個(gè)近值 2.1 開始，以下有的近似值都是這個(gè)情了。從幾何看，如果點(diǎn)a，f（a））位于 x 軸的上方，且 y=f（x）的曲線在凸部與 x 軸相交，或點(diǎn)（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在凹部與 x 軸相交，就出現(xiàn)這種有的情況。初的逼近（即次近似）的擇顯然是很要的，而且出了微妙的曾想到的問。如果我們慮復(fù)多項(xiàng)式復(fù)根，這就加清楚了。頓的方法很易適應(yīng)這個(gè)廣泛的背景設(shè) z 是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式復(fù)根，而 z_0 是初始的逼近，于牛頓方法將出一個(gè)序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能不收斂我們定義根 z 的吸引區(qū)域?yàn)檫@樣的始逼近 z_0 的集合，使得所得到序列確實(shí)收于 z，并且記這個(gè)區(qū)域 A（z）。怎樣來決定 A（z）呢？第一個(gè)問這問題的人是萊，時(shí)間是 1879 年。他注意到對(duì)于二次多式，這個(gè)問是很容易的但當(dāng)次數(shù)為 3 或者更大時(shí)，問題就困難了。例多項(xiàng)式 z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別復(fù)平面上以直軸為界的個(gè)半平面，是 z^3-1 的三個(gè)根 1，w，w^2 的相應(yīng)的吸引區(qū)域是極復(fù)雜的合。這些集是由儒利亞 1918 年描述的，現(xiàn)在稱為分集合。遞推式牛頓方法每一階段都產(chǎn)生一個(gè)新程。但是拉森指出實(shí)際并無必要。就特殊的例給出在每一都可以使用單一一個(gè)公。但是他的本的觀察可一般地適用導(dǎo)出可以用每一個(gè)情況一般公式，這個(gè)公式用線的解釋就以容易得出事實(shí)上，曲 y=f（x）在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程它與 x 軸的交點(diǎn)的橫標(biāo)是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所說的頓-拉夫森方法就是指的個(gè)公式。我從一個(gè)初始近 a_0=a 開始再用這個(gè)遞推公得出這樣就到一個(gè)逼近序列，在復(fù)況下，也就前面說的 z_0，z_1，z_2，…。作為一個(gè)子，考慮函 f（x）=x^2-c。這時(shí)，牛頓法就給出 c 的平方根根號(hào) c 的一串近似值，推公式現(xiàn)在了在上面的般公式中把 f 換成 x^2-c 即得。這個(gè)近平方根的求，公元 1 世紀(jì)的亞歷大里亞的海就已經(jīng)知道本文來自微公眾號(hào)：老說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才老?
段玉飛
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