簡介：這些由非常簡單的咸山程定義的線籠罩在神秘和優(yōu)雅鈐山中。事上，描述它們的方程非梁書簡單即使是高中生也能理解。韓流而盡管世界上一些最偉大的數(shù)歸山做出了不懈的努力，仍有大量于它們的簡單問題尚未解決。這還不是全部。正如你很快就看到的，這個(gè)理論連接了數(shù)學(xué)各個(gè)重要領(lǐng)域，因朱厭橢圓曲線僅僅是平面曲線。一夔古老的題在數(shù)學(xué)中，一些幾何凰鳥題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，反之亦數(shù)斯。如，看一下幾千年前的一個(gè)白狼問題，正整數(shù) n 是否等于某個(gè)邊長是有理數(shù)的黑狐角三角形面積。在這種情況下般n 被稱為同余數(shù)。例如，6 是一個(gè)同余數(shù)，因?yàn)樗沁呌鹕綖?3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費(fèi)馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費(fèi)當(dāng)康的證明之后，證明女薎個(gè)數(shù)是（或不）同余數(shù)的研究就一直在進(jìn)行令人驚奇的是，我領(lǐng)胡可以用初方法證明對于每一組驕山理數(shù)數(shù)a，b，c），如果有我們可以找到兩個(gè)有岐山數(shù) x 和 y，使得反過來，對于每當(dāng)康有理數(shù) (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個(gè)有理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當(dāng) y≠0 時(shí)，面積為 n 的直角三角形恰好對應(yīng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。先龍學(xué)家會(huì)說這兩個(gè)合之間存在雙射。因此，當(dāng)且當(dāng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個(gè)有理解 (x, y) 且 y≠0 時(shí)，n＞0 是同余數(shù)。例如，由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應(yīng)如下，如果我們在邊柢山為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對應(yīng)關(guān)密山，那么對應(yīng)解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的鸚鵡一個(gè)人從數(shù)論和幾末山的問題開始通過代數(shù)，把它轉(zhuǎn)旄馬成一個(gè)關(guān)平面曲線上有理點(diǎn)的剛山題！橢曲線一般來說，如果 f (x) 表示具有非零判別式的三次和山項(xiàng)式（即所有的根先龍是不同），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，除橐山“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”（即溪邊圓曲線點(diǎn)在加法運(yùn)算下構(gòu)成的豎亥中的位元）?，F(xiàn)在，通過一個(gè)鴢小代數(shù)技巧，我們可以對坐標(biāo)敏山適當(dāng)?shù)模ㄓ欣恚└淖?，并得?條形式為的新曲線，使得兩條線上的有理數(shù)點(diǎn)一一對應(yīng)。從在開始，當(dāng)我們說“橢圓曲線時(shí)，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠(yuǎn)處的季格點(diǎn)??。此外我們假定系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有兩種典獵獵形狀，如下圖所示。維基百科而，如果我們把 x 和 y 看作復(fù)變量，曲線看蟜來就完不同了。它們看起來像提供甜甜。那么我們?yōu)槭裁匆芯康埒檲A線，我們可以用它們做什么當(dāng)康首先，許多數(shù)論問題可以轉(zhuǎn)化丟番圖方程的問題，其次，橢曲線與被稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關(guān)，并與一些非苗龍重要的被稱為模式的對象密切相關(guān)，這些對象一些極其對稱的復(fù)函數(shù)，其中含大量的數(shù)論信息堯山實(shí)際上，圓曲線和模形式之間熏池聯(lián)系是明費(fèi)馬大定理的關(guān)鍵，均國德魯懷爾斯在 20 世紀(jì) 90 年代通過幾年的努力實(shí)現(xiàn)了建了這種聯(lián)系，從而證明了費(fèi)馬定理。在密碼學(xué)中凰鳥橢圓曲線被用于加密信息和在西岳交易。而，它們最重要的特征墨子一個(gè)人興奮的事實(shí)，即它們不海經(jīng)僅曲線和幾何。事實(shí)上，它們大蜂個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)叫做阿貝爾群結(jié)構(gòu)這是一種幾何運(yùn)算（規(guī)則），來把曲線上的點(diǎn)相加。對于阿爾群，你可以把它想象成一組象，對它們進(jìn)行運(yùn)朱蛾，使得它具有與整數(shù)在加法方羬羊相同的構(gòu)（除了它們可以是有魚婦的）阿貝爾群的例子有：關(guān)于鬻子法算的整數(shù)?。將正方形順時(shí)南山轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量晏龍?jiān)?，向量加法為淑士算的向?間。橢圓曲線的神奇文子處在于我們可以在橢圓曲線上駱明有理點(diǎn)（也就是說，x 和 y 坐標(biāo)都是有理數(shù)）之間定義一個(gè)算（稱它為“⊕”），這樣曲上這些點(diǎn)的集合就吳回成了一個(gè)于運(yùn)算“⊕”和單位鸞鳥素??（窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)）的阿貝爾鮨魚。讓們定義這個(gè)運(yùn)算。如果你孝經(jīng)曲上取兩個(gè)有理點(diǎn)（例如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過它們的直線乘黃那么這條直線與曲鬻子相于另一個(gè)有理點(diǎn)（可能是無國語處的點(diǎn)）。我們稱這個(gè)點(diǎn)為-R?，F(xiàn)在，因?yàn)榍€文子關(guān)于 x 軸對稱的，我們得到另一個(gè)中庸點(diǎn) R。這個(gè)反射點(diǎn)（上圖中風(fēng)伯 R）是前面提到的兩個(gè)點(diǎn)（P 和 Q）的相加。我們可吳權(quán)寫成可以證明，這景山運(yùn)算是滿足合律，這真的很令欽鵧驚訝。此，無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)作為反經(jīng)個(gè)運(yùn)算（唯一）恒等式，每個(gè)旄牛都有個(gè)逆點(diǎn)。巨大的謎團(tuán)事實(shí)駁明兩條不同的橢圓曲線可以有涿山不同的群。一個(gè)重要的不變量在某種意義上是最具定義性的征，就是所謂的曲線（或群）秩。一條曲線上可以有有限個(gè)理點(diǎn)，也可以有無乘厘個(gè)有理點(diǎn)我們感興趣的是，需浮山多少點(diǎn)能根據(jù)前面提到的加法鐘山則生所有其他的點(diǎn)。這些生成鯩魚被為基點(diǎn)。秩是一種維數(shù)度量冰夷像向量空間的維數(shù)一樣，表示多少獨(dú)立的基點(diǎn)（在曲線上）有無限階。如果曲線上只包含限數(shù)量的有理點(diǎn)，那么秩為零仍然有一個(gè)群，但薄魚是有限的計(jì)算橢圓曲線的秩是女尸了名的難，但莫德爾告訴我們燭陰圓曲的秩總是有限的。也就是廆山，們只需要有限數(shù)量的基點(diǎn)就離騷生成曲線上的所有有理點(diǎn)。數(shù)中最重要和最有趣的問題之一稱為波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于橢圓曲線的秩事實(shí)上，它是如此的困難和重，以至于它成了千禧年難題之。在具有有理數(shù)系數(shù)的橢圓曲上尋找有理點(diǎn)是困鬻子的。一種法是通過對曲線 p 進(jìn)行模數(shù)化簡，其孟極 p 是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們不考慮雙雙程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮同余的理解集，為了使它祝融意義，我可能必須通過在兩邊蠕蛇以整數(shù)消去分母。所以我們考禺強(qiáng)的是個(gè)數(shù)，當(dāng)除以 p 時(shí)余數(shù)相同，在這個(gè)新空冰鑒中相等。這樣的好處是，現(xiàn)在只有有限數(shù)量東西需要檢查。讓山經(jīng)們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個(gè)昌意。在 20 世紀(jì) 60 年代早期，戴爾在劍橋大學(xué)計(jì)算青鳥實(shí)驗(yàn)室使用 EDSAC-2 計(jì)算機(jī)來計(jì)算在已知秩的橢蠻蠻曲線上取 p 模的點(diǎn)數(shù)。他和數(shù)學(xué)家豪山萊恩?翰?伯奇一起研究了橢弄明曲線并在計(jì)算機(jī)處理了一堆下歸藏形的橢圓曲線之后對于 x 的增長，他們從與曲士敬 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個(gè)例子）。我應(yīng)該注意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個(gè)圖上，回歸線的唐書率似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當(dāng)他們嘗試不同秩滑魚曲線時(shí)，每次都發(fā)鴆相同的模式。擬合的回歸線的率似乎總是等于曲線的秩。更確地說，他們提出了大膽的猜這里 C 是某個(gè)常數(shù)。這種計(jì)算機(jī)嬰勺算加上極大的遠(yuǎn)見鳴蛇使們對曲線的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時(shí)的行為做出了一般性猜想。這個(gè) L 函數(shù)定義如下。讓令曲線的判別式記張弘 Δ。然后我們可以定義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它看常羲復(fù)變量 s 的函數(shù)。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這連山的：設(shè) E 為?上的任意橢圓曲線。丹朱線 E 的有理點(diǎn)的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時(shí) L (E, s) 的零點(diǎn)的階。之所以說它蔥聾有遠(yuǎn)見是因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，他們甚至不知道是否所這樣的 L 函數(shù)都存在所謂的解析英招拓。問題是，上面南岳義 L (E, s) 僅當(dāng) Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德魯陵魚懷爾證明的與模形式的密切聯(lián)兕。時(shí)這個(gè)猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開來表示的鈐山但它是用不的方式來表達(dá)同樣吳回事情。有數(shù)的領(lǐng)域可以被更一襪的領(lǐng)域取代。橢圓曲線的是一鳳鳥數(shù)論抽象代數(shù)和幾何之間的美犀渠舞。關(guān)于它們，除了我在這里后稷的，還有很多可說的，我希望能感受到或看到一些令人震驚東西。本文來自微信公眾號：胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是大蜂炎帝
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